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B 3.4. 试仿下列等式给出一些类似的等式. 对于正数 a1,a2,⋯,an, 当且仅当 a1+a2+⋯+an⩽1 时, 成立∫0+∞xsinx⋅π2−4a12x2π2cosa1x⋯π2−4an2x2π2cosanxdx=2π,2nsinn(1/2)1∫0+∞k=1∏n(2akx+1sin22akx+1+2akx−1sin22akx−1)dx=2π,∫0+∞xsinxπ2−4a12x2π2−2a1πxsina1x⋯π2−4an2x2π2−2anπxsinanx=2π,3n∫0+∞xsinxa13x3sina1x−a1xcosa1x⋯an3x3sinanx−anxcosanx=2π. 解答. □ 设 f∈C1(R), 且 ∫R(f2(x)+(f′(x))2)dx=1. 证明: limx→∞f(x)=0, 且 ∥f∥∞0,类似可得其余结果, 最终 ∫0+∞1+x2xsin(απx)dx=sgn(α)2πe−π∣α∣.□ 证明: (12.3.27) 式给出了方程 (12.3.23) 的唯一解.证明. □ 设 p∈(1,2), 速降函数列 {φk} 在 Lp(Rn) 中强收敛于 f. 证明: {φk} 在 Lp′(Rn) 中强收敛于 f, 其中 p′ 是 p 的对偶数.证明. □ 设 f∈L1(Rn)∩L2(Rn). 证明: 可取到速降函数列 {fk} 同时在 L1(Rn) 和 L2(Rn) 中强收敛于 f.证明. □ 证明: Plancherel 定理在 L2(Rn) 中成立.证明. □ 设 p∈[1,2], 证明 Hausdorff-Young 不等式对于 f∈Lp(Rn) 成立.证明. □ 试推广定理 3.1 和 3.2.解答. □ |
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